Рекомендуємо:




Школа життя

Мало доведених, недоведених і поки не доведених теорем? Тут вся справа в тому, що Велика теорема Ферма являє собою найбільший контраст між простотою формулювання і складністю доведення.

1. Чому вона так знайома?

Велика теорема Ферма — завдання неймовірно важке, і тим не менше її формулювання може зрозуміти кожен з 5-ма класами середньої школи, а ось доказ — навіть далеко не кожен математик-професіонал. Ні фізики, ні хімії, ні в біології, в тій самій математиці немає жодної проблеми, яка формулювалася так просто, але залишалася невирішеною так довго.

2. У чому ж вона полягає? Почнемо з піфагорових штанів

Формулювання дійсно проста — на перший погляд. Як відомо нам з дитинства, «піфагорові штани на всі сторони рівні».

Проблема виглядає настільки простий тому, що в основі її лежало математичне твердження, що всім відомо:

Теорема Піфагора: в будь-якому прямокутному трикутнику квадрат, побудований на гіпотенузі, дорівнює сумі квадратів, побудованих на катетах.

Тобто легко підібрати безліч чисел, які прекрасно задовольняють рівності х2 + y2 = z2. Починаючи з 3, 4, 5 — дійсно, младшекласснику зрозуміло, що

9+16=25.

Або 5, 12, 13:

25 + 144 = 169.

Чудово. Ну і так далі.

А якщо взяти схоже рівняння х3+ y3 = z3? Може, теж є такі числа? І так далі.

Так ось, виявляється, що їх НЕМАЄ.

Ось тут починається підступ. Простота — позірна, бо важко довести наявність чогось, а навпаки, відсутність. Коли треба довести, що рішення є, можна і потрібно просто привести це рішення.

Довести відсутність складніше: наприклад, хтось каже: таке-то рівняння не має рішень. Посадити його в калюжу? Легко: бац — а ось воно, рішення! (наведіть рішення). І все, опонент убитий.

А як довести відсутність? Сказати: «Я не знайшов таких рішень»? А може, ти погано шукав? А раптом вони є, тільки дуже великі, ну дуже, такі, що навіть у надпотужного комп'ютера поки не вистачає сил? Ось це-то й складно.

В наочному вигляді це можна показати так: якщо взяти два квадратика відповідних розмірів і розібрати на окремі квадратики, то з цієї купки одиничних квадратиків виходить третій квадратик:

А зробимо те саме з третім виміром (рис. 3) не виходить. Не вистачає кубиків, або залишаються зайві:

3. Історія: понад 350 років пошуку рішень

Теорема була сформульована П'єром Ферма в 1637 році на полях книги «Арифметика» Діофанта з припискою, що знайдене ним дотепне доказ цієї теореми занадто довго, щоб його можна було тут помістити:

Навпаки, неможливо розкласти куб на два куба, біквадратічнимі на два биквадрата і взагалі ніяку ступінь, велику квадрата, на два ступені з тим же показником. Я знайшов цього воістину чудове доказ, але поля книги занадто вузькі для нього.

Дещо пізніше сам Ферма опублікував доказ приватного випадку для n = 4, що додає сумнівів у тому, що у нього було доказ загального випадку, інакше він неодмінно згадав би про нього в цій статті. Ейлер у 1770 році довів теорему для випадку n = 3, Діріхле та Лежандра в 1825 році — для n = 5, Ламі — для n = 7. Куммер показав, що теорема вірна для всіх простих n, менших 100, і так далі.
Фото: ru.wikipedia.org

Але все це були окремі випадки, а не універсальне доказ для ВСІХ ЧИСЕЛ.

Над повним доказом Великої теореми працювало чимало видатних математиків, і ці зусилля призвели до отримання багатьох результатів сучасній теорії чисел.

Вважається, що Велика теорема стоїть на першому місці за кількістю хибних доказів. Багато починаючі математики вважали своїм обов'язком підступитися до Великої теореми, але довести її все ніяк не вдавалося.

Спочатку не вдавалося сто років. Потім ще сто. Серед математиків став розвиватися масовий синдром: «Як же так? Ферма довів, а я що, не зможу, чи що?», і деякі з них на цьому ґрунті сказилися в повному сенсі цього слова.

Деякі намагалися прославитися від зворотного: довести, що вона не вірна. А для цього, як ми говорили, достатньо просто навести приклад: ось три числа, одне в кубі плюс друге в кубі — одно третій в кубі. І вони шукали такі трійки чисел. Але безуспішно... І ніякі комп'ютери, ні з яким швидкодією, ніколи не змогли б ні перевірити теорему, ні спростувати її, адже всі змінні цього рівняння (в тому числі і показники ступеня) можуть зростати до нескінченності.

4. Нарешті!

Фото: elementy.ru

Нарешті 23 червня 1993 року в Кембриджі відбулася найважливіша лекція з математики в ХХ столітті. Лектором був Ендрю Уайлс, англієць, професор Прінстонського університету. Ендрю Уайлс продемонстрував вченим повне доказ Великої теореми Ферма.

Він йшов до цього 30 років, буквально з десятирічного віку. Його доказ потім ще було уточнено і вдосконалено у 1995 році, але найголовніше — Велика теорема була доведена!

На це людству знадобилося 358 років. Для доказу була застосована «найвища» і сама сучасна математична наука. Тому викласти це доказ в рамках заметочки ніяк не можна, і читачам доведеться повірити на слово мені, математикам Кембриджа і Прінстона і так далі.

Це доказ закрило відразу дві сторінки історії: 350-річний пошук доказів Великої теореми і нескінченні навали ферматистов на всі математичні кафедри всіх університетів та інститутів у світі.

5. Хто такі ферматисты?

Як сказано вище, формулювання Великої теореми дуже проста і зрозуміла, тому є стійка ілюзія, що і доказ її також має бути простим, зрозумілим і вкладати в знання алгебри в обсязі 5-6 класів. Це породило незліченні натовпу фанатиків, званих ферматистами, які намагалися її довести, думали, що довели, і атакували кафедри та окремих науковців з списаними зошитами в клітинку напереваги. Як всі фанатики, вони нетерпимі до критики, сповнені намірів знести всі перепони і страшно самовпевнені. Зазвичай їх товсті праці відразу викидають або дають студентам кафедри теорії чисел для пошуку помилки в якості вправи. Фото: francis.naukas.com

Як правило, всі докази зводяться до нехитрим алгебраїчних перетворень: там додав, тут відняв, звів все в квадрат, витягнув квадратний корінь, згорнув за формулами скороченого множення, застосував біном Ньютона — і ось воно, довів.

Цікаво, що більша частина доморощених ферматистов навіть не розуміє суті теореми — вони доводять не те, що рівняння з показниками ступеня більше 2 не має цілих рішень, а просто намагаються довести, що х в степені N + y в ступені N z у степені N, що, як ви вже, я сподіваюся, розумієте, позбавлене усілякого сенсу.

Адже і доводять! Помилка, як правило, виникає при черговому зведенні рівняння в квадрат і подальшому витягу кореня. Здавалося б: звели в квадрат, потім витягли корінь — так на так і вийде, але вони завжди забувають про те, що х в квадраті і (мінус х) в квадраті рівні. Це елементарно, Ватсон!

Кафедри відбивалися, як могли.

Вчений секретар одного з московських академічних інститутів, не уник навали ферматистов, одного разу був у відпустці в Молдавії і на ринку купив якусь їжу, яку йому загорнули в місцеву газету.
Повернувшись з ринку, він став переглядати цей листок і натрапив на замітку, в якій повідомлялося, що місцевий шкільний вчитель довів теорему Ферма, і, як наслідок, співали всякі дифірамби високому рівню обласної науки.
Вчений секретар вирізав цю замітку, а після повернення до Москви вставив її в рамку і повісив на стіну свого кабінету. Тепер, коли на нього «нападав» черговий ферматист, він широким жестом запрошував того ознайомитися з поточним станом справ». Життя явно стала легше.
(Саймон СІНГХ, «ВТФ»).

Я думаю, після всього, що між нами було, читачі зможуть оцінити ліпшу мені якось на кафедрі в купі таких рукописів, зошитів і бандеролей телеграму:

ДОВІВ ТЕОРЕМУ ФЕРМА ТЧК ІКС МІРОЮ Н ПЛЮС ІГРЕК МІРОЮ Н ОДНО ЗЕТ МІРОЮ Н ТЧК. ДОКАЗ ДВТЧ ПЕРЕНОСИМО ІГРЕК МІРОЮ Н ПРАВУ ЧАСТИНУ ТЧК ПОДРОБИЦІ ЛИСТОМ

Що ще почитати по темі?

П'єр Ферма: математика — просто дозвілля або справа всього життя?
Як пояснити дитині математику?
Наука чи математика?


Новіші інформаційні сюжети:



Рекомендуємо:



Школа життя

Добавлено 02 серпня 2016
moskva-iak-vinik-zmailovskii-ostrv Мені здається, що далеко не кожен корінний москвич знає, що в столиці є острів. І мова йде не про лісовому масиві, який називається Лосиним островом, а про шматок землі, з усіх боків оточеному водою, на якому розташований цілий історичний район...
4400

У світі цікавого

Добавлено 10 квітня 2014
moralnst-nashogo-chasy-nasklki-nenorm «Нормально» - не означає «добре», «правильно», «істинно». «Нормально» - лише норма для сьогоднішньої більшості, а норми, як відомо, завжди змінюються, часто стаючи з ніг на голову або навпаки. «Генералу Калашникову, винахіднику автомата Калашникова, виповнюється...
5950